Тарковский имел три гражданства (СССР, Италия, Франция).
В 1989 году был организован Фонд Андрея Тарковского, который проводит фестивали и выставки, посвящённые творчеству режиссёра, ведёт архивную работу. С 1993 года в рамках Московского международного кинофестиваля присуждается премия имени Тарковского «лучшему фильму конкурсной или внеконкурсной программы».