Полное имя — Энвер Леиф Гёкай (Enver Leif Gjokaj).
Согласно правилам албанско-русской практической транскрипции, фамилия Gjokaj транскрибируется как Гёкай. Джокай — американизированная форма, которой придерживается и сам актёр.
Энвер родился в семье албанца и американки, у него есть старший брат Беким (Bekim) и брат-близнец Демир (Demir).