В 1958 Годунов поступил в Рижское хореографическое училище, которое окончил в 1967; в 1967—1971 годах танцевал в Государственном хореографическом ансамбле «Классический балет».
23 августа 1979 во время гастролей Большого Театра в Нью-Йорке, Годунов обратился к американским властям с просьбой политического убежища; после известия о его отсутствии советские власти отправили жену Годунова — Людмилу Власову, единственную из труппы, на самолёте в Москву. Однако самолёт был задержан американскими властями прямо перед взлётом, и Государственный департамент потребовал предоставить доказательства того, что Власова возвращается в СССР добровольно. Вслед за этим в инцидент оказались вовлечены лидеры СССР и США Леонид Брежнев и Джимми Картер; в конце концов через 3 дня самолёту с Власовой было позволено вылететь в СССР.