В 2002 году поступил на актёрский факультет в Санкт-Петербургскую государственную академию театральных искусств (мастерская Л.А. Додина).
Алексей Осипов пропал днём 13 февраля 2013 года во время прогулки с подругой по льду Финского залива. 22 июля 2013 года его тело было обнаружено у дамбы в районе города Ломоносов.