Полное имя — Эндрю Баррон Маррей (Andrew Barron Murray).
Энди родился в семье Джудит (Judith) и Уильяма Маррей (William Murray), мама — теннисный тренер, отец — менеджер, родители развелись, когда Энди было десять лет, дед по материнской линии Рой Эрскин (Roy Erskine) — шотландский бывший профессиональный футболист, у Энди есть старший родной брат Джейми Маррей (Jamie Murray) тоже профессиональный теннисист, специалист парной игры.
В детстве Энди посещал начальную школу в Данблане и в марте 1996 года в 8-летнем возрасте пережил там «Данбланскую бойню», в ходе которой бывший руководитель скаутов этой школы Томас Гамильтон убил 16 детей и 1 учительницу, а затем застрелился сам. Маррей в это время находился в своём классе и не пострадал.